Un bateau peut-il aller plus vite que le vent ?

Voici quelques éléments pour répondre à cette question, de plus en plus existentielle pour les marins avec l’arrivée des hydrofoils.

Avant de répondre, prenons la question à l'envers.

Pourquoi les bateaux seraient limités en vitesse par la vitesse du vent ?

A priori, il n’y a pas de relation immédiate puisque le vent ne pousse pas le bateau mais crée une force qui entraîne le bateau.

Du point de vue de la physique, tant que la force qui entraîne (c’est à dire celle du vent) est strictement supérieure à celle qui freine alors le bateau accélère, c’est à dire que sa vitesse augmente (définition de l’accélération).

Ainsi donc, la vitesse du vent ne crée pas la “vitesse du bateau” mais une force propulsive. Il n’y a donc pas de lien immédiat entre la vitesse du vent et la vitesse du bateau.

Oublions les forces de traînée

Les forces de traînée sont tellement difficiles à modéliser que nous allons les oublier. 

En effet, elles dépendent des formes du bateau, du poids, des vagues, de la texture du revêtement de la coque, de la texture des voiles. Donc de tellement d'éléments que la modélisation est impossible … en tous cas pour moi.

La limitation de l’angle du vent apparent

Rappel sur le vent apparent

Cependant, quand nous utilisons des voiles, le vent vu par le bateau est le vent apparent, c’est à dire le vent réel (celui qui nous décoiffe sur la plage) et le vent vitesse, celui généré par la vitesse du bateau. Un petit schéma.

Le vent réel en rouge. La vitesse du bateau en vert (trait fin) et donc le vent vitesse qui est un vecteur opposé de la vitesse. En combinant vectoriellement (c’est à dire en deux dimensions dans notre cas) les deux vecteurs nous avons le vent apparent en bleu.

Et la vitesse augmente …

Regardons ce que devient notre schéma lorsque la vitesse du bateau augmente.

Nous voyons aisément que l’angle entre l’axe du bateau et le vent apparent diminue. Or, nous savons que cet angle ne peut pas diminuer jusqu’à zéro. Avec des voiles, il y a une limite de remontée au vent que nous allons appeler ALPHA (c’est toujours plus chic de prendre des lettres grecques pour des angles !).

Vitesse maximale théorique

Donc, pour un vent réel donné, la vitesse du bateau ne pourra pas dépasser une valeur correspondant au fait que le vent apparent ne peut pas venir d’un angle inférieur à ALPHA.

Maintenant, il va falloir calculer la vitesse en fonction de ALPHA (angle avec le vent apparent) et BETA (angle avec le vent réel).

Maintenant, que nous avons posé le problème, ressortons de nos grimoires quelques formules de trigonométrie (et oui, il fallait écouter en cours !).

Pour aller pas à pas dans le raisonnement nous allons calculer les dimensions sur les axes concernant “Vr”.

Ne revenons pas sur ces formules car c’est la définition même de la notion de cosinus (cos) et sinus (sin).

Occupons nous maintenant de l’angle ALPHA.

Encore une définition, celle de la tangente : - tg (ALPHA) = AA / BB, c’est à dire le côté opposé de l’angle divisé par le côté adjacent (il y un signe moins car le vecteur est dans le sens non habituel).

Or nous venons de voir que “AA” est égale à -Vr*sin(BETA), nous en déduisons facilement que “BB” = Vr*sin(BETA)/tg(ALPHA).
Et nous avons aussi vu que “CC” = -Vr*cos(BETA).
Et comme nous voyons sur le schéma que Vmax = BB + CC, nous avons notre formule.
Vmax = -Vr*cos(BETA) + Vr*sin(BETA)/tg(ALPHA) ce qui donne en simplifiant :

Vmax = Vr * (-cos (BETA)+ sin(BETA)/tg ALPHA)

Et la vitesse du vent Apparent ?

Au point où nous en sommes, calculons la vitesse du vent apparent et nous aurons fini nos formules.

Notre vent apparent c’est la grosse flèche bleue. Pythagore va nous aider avec sa formule (⋀2 signifie au carré, notation empruntée à l’informatique et beaucoup plus pratique que celle des mathématiques) :
(VentAppMax)⋀2 = (Vr*sin(BETA)/tg(ALPHA) ) ⋀2 + Vr*sin(BETA) ⋀2 et par simplification :

VentAppMax = Vr * sin(BETA) * SQRT (1+ 1/tg(ALPHA) ⋀2 )

Bien sûr, cette formule peut permettre de calculer le vent réel à partir de l’anémomètre du bateau, si tenté que votre engin soit à la vitesse maximum théorique.

Ouf, la partie théorique est maintenant finie. Passons aux cas pratiques.

Quelques simulations avec les formules

Vitesse du bateau et du vent apparent 

Un premier tableau reprend la vitesse du bateau et celle du vent apparent pour un angle ALPHA fixe.

alpha =	40
	=-COS($A5*PI()/180)+(SIN($A5*PI()/180)/TAN($B$1*PI()/180))	=SIN(A5*PI()/180)*SQRT(1+1/(POWER(TAN(B$1*PI()/180),2)))
Angle vent réel (BETA)	Vitesse Bateau Max	Vent Apparent Max
30	-0.27	0.78
40	0.00	1.00
50	0.27	1.19
60	0.53	1.35
70	0.78	1.46
80	1.00	1.53
90	1.19	1.56
100	1.35	1.53
110	1.46	1.46
120	1.53	1.35
130	1.56	1.19
140	1.53	1.00
150	1.46	0.78
160	1.35	0.53
170	1.19	0.27
180	1.00	0.00

Pour un angle maximal de remontée au vent de 40°, la vitesse maximale théorique est de 156% du vent réel. Regardez un peu le vent ressenti par l’équipage, c’est à dire le vent apparent : il n’est pas maximal avec la vitesse maximale théorique.

Peut-on aller à 2 fois, 3 fois la vitesse du vent ?

alpha =	10	15	20	25	28	30
	=-COS($A5*PI()/180)+(SIN($A5*PI()/180)/TAN(B$1*PI()/180))
Angle vent réel (BETA)	Vitesse Bateau Max	Vitesse Bateau Max	Vitesse Bateau Max	Vitesse Bateau Max	Vitesse Bateau Max	Vitesse Bateau Max
30	1.97	1.00	0.51	0.21	0.07	0.00
40	2.88	1.63	1.00	0.61	0.44	0.35
50	3.70	2.22	1.46	1.00	0.80	0.68
60	4.41	2.73	1.88	1.36	1.13	1.00
70	4.99	3.16	2.24	1.67	1.43	1.29
80	5.41	3.50	2.53	1.94	1.68	1.53
90	5.67	3.73	2.75	2.14	1.88	1.73
100	5.76	3.85	2.88	2.29	2.03	1.88
110	5.67	3.85	2.92	2.36	2.11	1.97
120	5.41	3.73	2.88	2.36	2.13	2.00
130	4.99	3.50	2.75	2.29	2.08	1.97
140	4.41	3.16	2.53	2.14	1.97	1.88
150	3.70	2.73	2.24	1.94	1.81	1.73
160	2.88	2.22	1.88	1.67	1.58	1.53
170	1.97	1.63	1.46	1.36	1.31	1.29
180	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00

Et voici un tableau qui varie en ALPHA et en BETA. Que pouvons nous conclure? Pour aller (vitesse maximale théorique) à 2 fois la vitesse du vent, il faut que le bateau sache remonter à 30° au près serré. Et pour 4 fois la vitesse du vent, moins de 15°. Pas courant !

Passons maintenant à la VMG

Vous vous rappelez la VMG ? velocity made good, c’est à dire la capacité d’un bateau à aller à un point au vent (0° du vent réel) ou un point sous le vent (180° du vent réel) en schématisant un peu.

La VMG est donc simplement la projection de la vitesse du bateau sur l’axe de vent réel, ce qui correspond à la vitesse du bateau (vecteur vert) multiplié par le cosinus de l’angle (180-BETA).

Rappelons que cos(180-BETA) = - cos(BETA)

VMGmax = -Vr * cos (BETA) * (-cos (BETA)+ sin(BETA)/tg ALPHA)

Voyons un tableau qui calcule cette VMG

alpha =	30	40
Angle vent réel (BETA)	VMG	VMG
30	0.00	0.23
40	-0.27	0.00
50	-0.44	-0.17
60	-0.50	-0.27
70	-0.44	-0.27
80	-0.27	-0.17
90	0.00	0.00
100	0.33	0.23
110	0.67	0.50
120	1.00	0.77
130	1.27	1.00
140	1.44	1.17
150	1.50	1.27
160	1.44	1.27
170	1.27	1.17
180	1.00	1.00

Donc, pour remonter au vent, il faut être à 60° du vent réel et pour aller sous le vent à 150° du vent réel.
Hélas, ceci n’est valable que si vous êtes au près serré du point de vue du vent apparent.

Le calcul optimal des angles

Réalisons trois courbes avec cette VMG pour des angles ALPHA de 20° (0,34 radian), 30° (0,52 radian) et 40° (0,69 radian).

Nous voyons bien que la VMG est plus favorable si le bateau remonte très bien (ALPHA = 20°)

Maintenant nous pouvons réaliser la dérivée de ces fonctions pour connaitre les angles idéaux c'est à dire un peu moins approximatif que le tableau Excel précédent.

Le grapher d'Apple fait les calculs pour nous.

Prenons les deux valeurs ou les fonctions s'annulent disons 1 et 2,6, c'est à dire :

• 1 radian donne 57 ° environ
• 2,6 radian donne 150° environ, ce qui corrobore bien les précédents calculs. 

Pour ceux qui ont choisis Spécialité Maths, 

d(VMGmax)/dBeta = -Vr * (cos (BETA) * (sin (BETA)+ cos(BETA)/tg ALPHA)

+Vr * (-sin(BETA) * (-cos (BETA)+ sin(BETA)/tg ALPHA)

= -Vr *[2*cos (BETA) * (sin (BETA) + (sin(BETA)^2 - cos(BETA)^2)/Tg(ALPHA)]

A ce stade, il faut trouver les racines : finalement c'est bien un grapher :-)

Confrontation avec le réel

Une copie d'écran prise sur une vidéo de la coupe de l'America de 2021. La voile est totalement bordée : facile à voir, elle est au milieu du bateau. L'angle du bateau par rapport au vent est 193°-47° (193 est en bas à gauche et 47 en bas à droite ) c'est-à-dire 146° pas très loin de notre angle optimal de 150°.

Le rapport vitesse du bateau / vitesse du vent est de  42,4/11,6= 3,65 est vraiment excellent (peut être pour cela qu'ils ont gagné ;-)

Il est difficile de conclure car ce sont des vitesses instantanées tant pour le vent que pour le bateau mais cela donne une première idée.

La voile est bien moins bordée : on voit bien l'arrière sur la droite de l'image. L'angle est de 2338-015= 63° qui nouos rapproche des 57° du grapher pour un angle théorique de 20° de remontée au vent.

Une dernière image pour vos propres analyses.

Conclusion

Vous auriez, ou croiriez avoir le bateau ultime, char à glace, foiler, qui vous permettrait de tutoyer la vitesse maximale théorique, alors une bonne nouvelle : plus besoin de savoir régler votre engin puisque vous seriez toujours au près. Comme dirait Dame Ellen, on borde à donf !

Mais alors, faut-il aussi que les amoureux de glisse apprennent à faire du près serré et ne plus laisser ce talent uniquement aux besogneux de croisière ;-)

PS: une bonne âme pour vérifier les calculs ?